Question

11．如图所示，二次函数y=ax²-$\frac{17}{4}$x+c的图象经过点A（0，1），B（-3，$\frac{5}{2}$），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．
（1）求直线AB的解析式和二次函数的解析式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），是否存在点N，使得BM与NC相互垂直平分？若存在，求出所有满足条件的N点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知点的坐标利用待定系数法即可得出结论；
（2）设点N的坐标为（m，-$\frac{5}{4}$m²-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），则点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+1），用含m的代数式表示出来MN，结合二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）假设存在，设点N的坐标为（m，-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{17}{4}$x+1）（-3＜m＜0），连接BN、CM，当四边形BCMN为菱形时，BM与NC相互垂直平分，根据BC=MN算出m的值，从而得出点N的坐标，再去验证BN是否等于BC，由此即可得出结论．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{-3k+b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+1；
把A（0，1），B（-3，$\frac{5}{2}$）代入y=ax²-$\frac{17}{4}$x+c得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{4}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为：y=-$\frac{5}{4}$x²-$\frac{17}{4}$x+1；
（2）设点N的坐标为（m，-$\frac{5}{4}$m²-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），则点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+1），
∴MN=-$\frac{5}{4}$m²-$\frac{17}{4}$m+1-（-$\frac{1}{2}$m+1）=-$\frac{5}{4}$m²-$\frac{17}{4}$m+1=-$\frac{5}{4}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{45}{16}$，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，MN取最大值，最大值为$\frac{45}{16}$；
（3）假设存在，设点N的坐标为（m，-$\frac{5}{4}$m²-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），连接BN、CM，如图所示．

若要BM与NC相互垂直平分，只需四边形BCMN为菱形即可．
∵点B坐标为（-3，$\frac{5}{2}$），点C的坐标为（-3，0），
∴BC=$\frac{5}{2}$．
∵四边形BCMN为菱形，
∴MN=-$\frac{5}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m=BC=$\frac{5}{2}$，
解得：m₁=-2，m₂=-1．
当m=-2时，点N的坐标为（-2，$\frac{9}{2}$），
∴BN=$\sqrt{（-2+3）^{2}+（\frac{9}{2}-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\frac{5}{2}$，BN≠BC，
故m=-2（舍去）；
当m=-1时，点N的坐标为（-1，4），
∴BN=$\sqrt{（-1+3）^{2}+（4-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，BC=$\frac{5}{2}$，BN=BC，
∴点N（-1，4）符合题意．
故存在点N，使得BM与NC相互垂直平分，点N的坐标为（-1，4）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及菱形的性质，解题的关键是；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）根据菱形的性质确定点N的坐标．本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）当确定下来四边形BCMN的形状后，问题就得以解决，解决该类型题目时，首先要想到的是将BM与NC当成对角线，根据对角线互相垂直平分能判断出四边形是什么形状，再根据该形状图形的其他性质去解决问题．