Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AE=4，cosA=$\frac{2}{5}$，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可推出DF是⊙O的切线．
（2）首先判断出：AG=$\frac{1}{2}$AE=2，然后判断出四边形OGFD为矩形，即可求出DF的值是多少．

解答 （1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，
，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠ODB=∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠ODF=∠DFC=90°，
∴DF是⊙O的切线．

（2）解：AG=$\frac{1}{2}$AE=2，
∵cosA=$\frac{AG}{OA}$，
∴OA=$\frac{AG}{cosA}$=$\frac{2}{\frac{2}{5}}$=5，
∴OG=$\sqrt{{OA}^{2}{-AG}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°，
∴四边形OGFD为矩形，
∴DF=OG=$\sqrt{21}$．

点评 此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．