Question

16．如图，网格平面直角坐标系中，组成网格的每个小正方形的边长为单位1．
（1）写出图中点A、B、C、D、E、F、G、H的坐标．
（2）多边形ABCDEFGH是轴对称图形还是中心对称图形？若是轴对称图形，求出其对称轴；若是中心对称图形，写出对称中心的坐标．
（3）平行于AB的直线从点A出发开始以1单位/秒的速度向x轴正方向平行移动，运动到经过点E时停止．若此直线扫过多边形ABCDEFGH的面积为s（平方单位），运动时间为t（秒），试求s与t的函数关系式．
（4）当t为何值时，运动的直线平分此多边形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据各点在坐标系中的位置直接写出点的坐标即可．
（2）观察图形，即可推出答案；
（3）分5种情况分别讨论即可求得；
（4）经过多边形对称中心的直线平分此多边形，求得即可．

解答 解：（1）A（-5，0）、B（-3，2）、C（0，2）、D（2，0）、E（4，0）、F（2，-2）、G（-1，-2）、H（-3，0）；
（2）多边形ABCDEFGH是中心对称图形，对称中心的坐标为（-$\frac{1}{2}$，0）；
（3）当0≤t≤2时，s=2t，
当2＜t≤3时，s=2t+$\frac{1}{2}$（t-2）•$\frac{1}{2}$（t-2）=1+t+$\frac{1}{4}$t²；
当3＜t≤6时，s=$\frac{1}{2}$（3+7）×2-$\frac{1}{2}$（7-t）•$\frac{1}{2}$（7-t）+$\frac{1}{2}$（t-2）•$\frac{1}{2}$（t-2）=$\frac{5}{2}$t+$\frac{25}{4}$；
当6＜t≤7时，s=$\frac{1}{2}$（3+7）-$\frac{1}{2}$（7-t）•$\frac{1}{2}$（7-t）+$\frac{1}{2}$（t-2+t-6）×2=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{11}{2}$t-$\frac{41}{4}$；
当7＜t≤9时，s=$\frac{1}{2}$（3+7）×2+$\frac{1}{2}$（t-2+t-6）×2=2t+2．
综上，s与t的函数关系式为：s=$\left\{\begin{array}{l}{2t（0≤t≤2）}\\{\frac{1}{4}{t}^{2}+t+1（2＜t≤3）}\\{\frac{5}{2}t+\frac{25}{4}（3＜t≤6）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{2}+\frac{11}{2}t-\frac{41}{4}（6＜t≤7）}\\{2t+2（7＜t≤9）}\end{array}\right.$；
（4）因为多边形ABCDEFGH是中心对称图形，所以经过对称中心的直线平分此多边形；
∴平行于AB的直线移动到点（-$\frac{1}{2}$，0）时，直线平分此多边形的面积，
∴此时，t=4.5，
∴当t=4.5时，运动的直线平分此多边形的面积．

点评 本题是几何变换的综合题，考查了三角形的面积，梯形的面积，等腰直角三角形的面积，中心对称的定义和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．