Question

17．（1）验证下列各式是否成立：2$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$，3$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$，4$\sqrt{\frac{4}{15}}$=$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$，…
（2）请你猜测：a$\sqrt{\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$（a＞0），并验证你的猜测．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的性质，可得a=$\sqrt{{a}^{2}}$  （a≥0），根据二次根式的乘法：$\sqrt{a}$$•\sqrt{b}$=$\sqrt{a•b}$，可得答案；
（2）根据二次根式的性质，可得a=$\sqrt{{a}^{2}}$  （a≥0），根据二次根式的乘法：$\sqrt{a}$$•\sqrt{b}$=$\sqrt{a•b}$，可得答案．

解答 解：（1）2$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{4}$×$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{4×\frac{2}{3}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}}$=$\sqrt{\frac{6+2}{3}}$=$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$，
3$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\sqrt{9}$×$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\sqrt{9×\frac{3}{8}}$=$\sqrt{\frac{27}{8}}$=$\sqrt{\frac{24}{8}+\frac{3}{8}}$=$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$，
…
（2）a$\sqrt{\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$，理由如下：
$\sqrt{\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{{a}^{2}}$$•\sqrt{\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{{a}^{2}•\frac{a}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{{（a}^{3}-a）+a}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{\frac{a（{a}^{2}-1）+a}{{a}^{2}-1}}$=$\sqrt{a+\frac{a}{{a}^{2}-1}}$．

点评 本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的乘法是解题关键．