Question

10．已知二次函数y=ax²+bx+c满足如下四个条件：abc=0、a+b+c=3、ab+bc+ca=-4、a＜b＜c
（1）求a、b、c的值；
（2）设抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C，问：在x轴的上方，这条抛物线上是否存在点P，使得S_△APC=S_△AOC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据①可知b=0或c=0（a≠0），那么本题可分两种情况进行讨论：
①当b=0，可联立②③，求出a，c的值，然后根据a＜b＜c判断出符合条件的a，c的值，进而可求出抛物线的解析式；
②当c=0时，方法同一．综合两种情况可得出抛物线的解析式；
（2）要分两种情况进行讨论：当P点在第一象限时，S_△APC=S_△AOC实际就是S_△DPC=S_△AOD．
△AOD中，根据OA，OD的长，可求出△AOD的面积．
△DPC中，可以CD为底边，P点的纵坐标为高，
过P作PG⊥x轴于G，OG就是△DPC的高．
可根据相似三角形ADO和APG，得出关于OD，PG，OA，OG的比例关系式．
设出P点的坐标，即可根据所得的比例关系式求出P点的坐标．
②在第二象限内，可分别过C，A作坐标轴的平行线，可得出一个矩形，设两条平行线的交点为Q，那么△AQC与△AOC的面积相等，而P在△ACQ内，因此△ACP的面积总小于△ACQ的面积．因此△ACP的面积不会和△ACO的面积相等．此种情况不成立．

解答 解：（1）∵a≠0，abc=0，
∴bc=0
①当b=0时：
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=3}\\{ab+ac+bc=-4}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a+c=3}\\{ac=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{{c}_{1}=4}\end{array}\right.$．
或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=4}\\{{c}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∵a＜b＜c．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=4}\\{{c}_{2}=-1}\end{array}\right.$（不合题意，舍去），
∴a=-1，b=0，c=4
②当c=0时，
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=3}\\{ab+ac+bc=-4}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{ab=-4}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=4}\\{{b}_{1}=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=-1}\\{{b}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∵a＜b＜c；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=4}\\{{b}_{1}=-1}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=-1}\\{{b}_{2}=4}\end{array}\right.$，都不合题意，舍去．
∴所求的抛物线解析式为y=-x²+4．

（2）分两种情况讨论：
①在第一象限内，设在抛物线上存在点P（m，n），使得S_△APC=S_△AOC．
过P作PM⊥x轴于点M，

则m＞0，n＞0，n=-m²+4
OM=m，PM=-m²+4，OA=2，AM=m+2
设APn交y轴于点Dn，设OD=t
∵OD∥PM，
∴$\frac{OA}{AM}$=$\frac{OD}{PM}$即$\frac{2}{m+2}$=$\frac{t}{-{m}^{2}+4}$，
整理得：mt+2t=8-2m²，DC=OC-OD=4-t
S_△AOD=$\frac{1}{2}$OA•OD=$\frac{1}{2}$×2×t=t；
S_△PCD=$\frac{1}{2}$CD•OM=$\frac{1}{2}$（4-t）×m；
∵S_△AOC=S_△APC
∴S_△AOD=S_△PCD
即t=$\frac{1}{2}$（4-t）×m，mt+2t=4m
将mt+2t=4m代入mt+2t=8-2m²中有8-2m²=4m
整理得m²+2m-4=0，m₁=$\sqrt{5}$-1，m₂=-1-$\sqrt{5}$
∵m＞0，
∴m₂=-1-$\sqrt{5}$（不合题意，舍去）
∴m=$\sqrt{5}$-1，
此时n=-m²+4=-（$\sqrt{5}$-1）²+4=2$\sqrt{5}$-2
∴存在点P坐标为（$\sqrt{5}$-1，2$\sqrt{5}$-2）；
②使得S_△APC=S_△AOC在第二象限内，这条抛物线上任取一点P′，连接P′A，P′C，分别过点A作直线l₁垂直x轴，过点C作直线l₂垂直于y轴，l₁与l₂相交于Q点，则四边形QAOC是矩形，S_△AQC=S_△AOC．

设P′点坐标为（m′，n′）
则有-2＜m′＜0
∵n′=-m′²+4
∴0＜n′＜4
∴点P′在矩形QAOC内，又易知P′在△AQC内
∴S_△AP′_C＜S_△AQC，S_△AP′_C＜S_△AOC
∴在第二象限内这条抛物线上不存在点Pnn，使S_△APC=S_△AOC．

点评 本题结合三角形的相关知识考查了二次函数的综合应用，由于题中的数据较多，计算过程较复杂，因此细心求解是解题的关键．