Question

如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点．抛物线y=ax²+bx+c经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题,平行四边形的判定与性质,坐标与图形变化-平移

专题：代数几何综合题,压轴题,待定系数法

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|

4

3

x²-4x|；解方程|

4

3

x²-4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；
（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S=-

1

6

（t-1）²+

1

3

；当t=1时，s有最大值为

1

3

．

解答：解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．
∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax²+bx．
∴

a+b=3 9a+3b=1

，
解得

a=- 4 3 b= 13 3

，
∴抛物线的表达式为：y=-

4

3

x²+

13

3

x．

（2）存在．
设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，
求得k=

1

3

，
∴直线OD解析式为y=

1

3

x．
设点M的横坐标为x，则M（x，

1

3

x），N（x，-

4

3

x²+

13

3

x），
∴MN=|y_M-y_N|=|

1

3

x-（-

4

3

x²+

13

3

x）|=|

4

3

x²-4x|．
由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．
∴|

4

3

x²-4x|=3．
若

4

3

x²-4x=3，整理得：4x²-12x-9=0，
解得：x=

3+3 2

2

或x=

3-3 2

2

；
若

4

3

x²-4x=-3，整理得：4x²-12x+9=0，
解得：x=

3

2

．
∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：

3

2

或

3+3 2

2

或

3-3 2

2

．

（3）∵C（1，3），D（3，1）
∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=

1

3

x．
如解答图所示，
设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．
设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；
设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．
设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），
则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，

1

3

+

1

3

t），C′（1+t，3-t）．
设直线O′C′的解析式为y=3x+b，
将C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t，
∴直线O′C′的解析式为y=3x-4t．
∴E（

4

3

t，0）．
联立y=3x-4t与y=

1

3

x，解得x=

3

2

t，
∴P（

3

2

t，

1

2

t）．
过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=

1

2

t．
∴S=S_△OFQ-S_△OEP=

1

2

OF•FQ-

1

2

OE•PG
=

1

2

（1+t）（

1

3

+

1

3

t）-

1

2

•

4

3

t•

1

2

t
=-

1

6

（t-1）²+

1

3

当t=1时，S有最大值为

1

3

．
∴S的最大值为

1

3

．

点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．