Question

已知三角形ABC，AO为底边BC的中线，AO=CO，延长AO至D，连接BD，CD，
（1）你能说出AB与AC的位置关系吗？理由呢？
（2）若∠ABC=∠ACB，求证：△ABD≌△ACD．

Answer 1

（1）解：AB与AC垂直，理由是：
∵AO为底边BC的中线，
∴BO=CO，
∵AO=CO，
∴AO=BO=CO，
∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA=180°，
∴∠OAB+∠OAC=90°，
即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC；

（2）证明：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AB，
∵AO为底边BC的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴DB=DC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD．
分析：（1）AB与AC垂直，由AO为底边BC的中线，则BO=CO，再由AO=CO得出AO=BO=CO，从而得出∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根据三角形的内角和定理即可得出∠BAC=90°；
（2）由∠ABC=∠ACB，得出AB=AB，再由AO为底边BC的中线，则AD垂直平分BC，则DB=DC，即可证明△ABD≌△ACD．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注到线段两个端点的距离相等的点有两个时，这两点确定的直线是这条线段的垂直平分线．