Question

【题目】如图，Rt△AOB中，∠OAB=90°，OA=AB，将Rt△AOB放置于直角坐标系中，OB在x轴上，点O是原点，点A在第一象限．点A与点C关于x轴对称，连结BC，OC．双曲线 (x＞0)与OA边交于点D、与AB边交于点E．

(1)求点D的坐标；

(2)求证：四边形ABCD是正方形；

(3)连结AC交OB于点H，过点E作EG⊥AC于点G，交OA边于点F，求四边形OHGF的面积．

Answer 1

【答案】（1）点D的坐标为(3，3)；（2）见解析；（3）．

【解析】

(1)由OA=AB，∠OAB=90°可得出∠AOB=∠ABO=45°，进而可设点D的坐标为(a，a)，再利用反比例函数图象上点的坐标特征结合点D在第一象限，即可求出点D的坐标；

(2)由点A与点C关于x轴对称结合OA=AB可得出OA=OC=AB=BC，进而可得出四边形ABCO是菱形，再结合∠OAB=90°，即可证出四边形ABCO是正方形；

(3)依照题意画出图形，易证△AFG≌△AEG，进而可得出S四边形OHGF=S△AOH-S△AFG=S△AOH-S△AEG，设点A的坐标为(m，m)，点E的坐标为(n，)，易证AG=GE，进而可得出2m-n=，再利用三角形的面积公式结合S四边形OHGF=S△AOH-S△AEG，即可求出四边形OHGF的面积．

解：(1)∵OA=AB，∠OAB=90°，

∴∠AOB=∠ABO=45°，

∴设点D的坐标为(a，a)．

∵点D在反比例函数y=的图象上，

∴a=，解得：a=±3．

∵点D在第一象限，

∴a=3，

∴点D的坐标为(3，3)．

(2)证明：∵点A与点C关于x轴对称，

∴OA=OC，AB=BC．

又∵OA=AB，

∴OA=OC=AB=BC，

∴四边形ABCO是菱形．

又∵∠OAB=90°，

∴四边形ABCO是正方形．

(3)依照题意，画出图形，如图所示．

∵EG⊥AC，

∴∠AGE=∠AGF=90°．

∵四边形ABCO是正方形，

∴AC⊥OB．

∵OA=AB，

∴∠FAG=EAG．

在△AFG和△AEG中，

，

∴△AFG≌△AEG(ASA)，

∴S四边形OHGF=S△AOH-S△AFG=S△AOH-S△AEG．

设点A的坐标为(m，m)，点E的坐标为(n，)．

∵OA=AB，EF∥OB，

∴AG=GE，

∴m-=n-m，即2m-n=，

∴S四边形OHGF=m2-(n-m)(m-)=m2-mn++m2-=m(2m-n)+-=+-=．