Question

已知，如图1，在直角坐标系中，有等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，抛物线交x轴于点E、C（点C在点E的右侧），交y轴于点A，它的对称轴过点D，顶点为点F；
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）点P是抛物线在第一象限内的点，它到边AB、BC所在直线的距离相等，求出点P的坐标；
（3）如图2，若点Q是线段AD上的一个动点，AQ=t，以BQ为一边作∠BQR=120°，交CD于点R，连接ER、FC，试探究：是否存在t的值，使ER∥FC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）抛物线解析式中，令y=0，能求得点E、C的坐标；令x=0，能求得点A的坐标；若设抛物线对称轴与x轴的交点为G，根据E、C的坐标即可得到点G的坐标，结合点A的坐标可得到点D的坐标；根据等腰梯形的性质可知OB=CG，可据此求出点B的坐标．
（2）在Rt△ABO中，易求得∠ABO=60°，作∠ABO的角平分线，交y轴于点H，那么显然∠HBO=30°，OB长已知，通过解直角三角形不难得到点H的坐标，利用待定系数法可求出直线BH的解析式，联立直线BH和抛物线的解析式即可得到点P的坐标．
（3）易知∠BAD=∠ADC=120°，而∠BQR=120°，那么∠ABQ+∠BQA=∠DQR+∠BQA=180°-∠BQR=60°，根据这个条件不难判断出△BAQ和△QDR是相似的，由此得到的条件是 BA：QD=AQ：DR，在这个比例关系式中，AB的长易知，AQ、QD的长都可由t表示出来，关键是求出DR的长，那么就要从BR∥FC的条件入手；点F的坐标易得，首先根据点F、C的坐标判断出∠FCE=∠REC=30°，那么显然△ERC是一个含30°角的特殊直角三角形，EC的长已知，则RC的长可得，而DR=CD-RC，则条件备齐．
解答：解：（1）抛物线y=（x-2）（x-6）中，令y=0，得 x₁=2、x₂=6；
令x=0，得：y=2；
∴A（0，2）、E（2，0）、C（6，0）；
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，根据抛物线的对称性知G（4，0），则D（4，2）；
在等腰梯形ABCD中，OB=CG=2，则 B（-2，0）．

（2）在Rt△ABO中，OA=2，OB=2，那么 tan∠ABO===，∠ABO=60°；
作直线BH，使得∠HBO=∠ABO=30°，交y轴于点H，则H（0，），
∴直线BH：y=x+；
由于点P到直线AB、BC的距离相等，所以点P在∠ABO的角平分线上，即点P为直线BH与抛物线的交点；
联立直线BH与抛物线的解析式，有：
，解得，
∴P点的坐标为（5+，）、（5-，）．

（3）由（1）的抛物线解析式可得：F（4，-）；
在Rt△FCG中，FG=，CG=2，所以tan∠FCG===，即∠FCG=30°；
∵FC∥ER，∴∠REC=∠FCG=30°；
由（1）知，∠ABO=∠DCO=60°，∴∠ERC=90°；
在Rt△ERC中，EC=4，∠REC=30°，则 CR=EC=2，DR=CD-CR=4-2=2；
∵∠BAQ=∠BQR=120°，
∴∠ABQ=∠DQR=60°-∠DQR，又∠BAQ=∠QDR，
∴△BAQ∽△QDR，则 =
∴=，化简，得：t²-4t+8=0
△=（-4）²-4×8＜0，因此不存在符合条件的t值．
点评：此题是函数与几何的综合题，主要涉及了函数图象交点坐标的求法、抛物线的对称性、等腰梯形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等等重要知识点，综合性较强．最后一题中，通过各角的度数判断出与题相关的相似三角形是解题的关键所在，也是此题的难点所在．