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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+x+4的图象与x轴交于BC两点(BC的左侧),与y轴交于点A

1)求出点ABC的坐标.

2)在抛物线上有一动点P,抛物线的对称轴上有另一动点Q,若以BCPQ为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点P的坐标.

3)向右平移抛物线,使平移后的抛物线恰好经过ABC的外心,求出平移后的抛物线的解析式.

【答案】1A04),B(﹣20),C80);(2P3)或(﹣7,﹣)或(13,﹣);(3y=﹣+4x

【解析】

1)分别令x0y0代入可求得点ABC的坐标;

2)利用配方法求出抛物线的顶点坐标,分三种情况:当Px轴的上方时,即为抛物线的顶点P3);当Px轴的下方时,有两种情况:①当P在抛物线对称轴的左侧时,如图2,②当P在抛物线对称轴的右侧时,如图3,根据PQBC10,求出横坐标后再求纵坐标;

3)通过证明△AOB∽△COA,得△ABC是直角三角形,得△ABC的外心E的坐标为(30),则抛物线向右平移5个单位,由此写出平移后的抛物线的解析式.

解:(1)当x0时,y4

∴与y轴交点A04),

y0时,﹣x2+x+40

解得:x=﹣28

B(﹣20),C80);

2y=﹣x2+x+4=﹣x32+

Px轴的上方时,即为抛物线的顶点P3)时,可以构成平行四边形BPCQ,如图1

Px轴的下方时,

BC2+810

若四边形BPCQ为平行四边形,则BCPQBCPQ10

有两种情况:①当P在抛物线对称轴的左侧时,如图2

∴点P的横坐标为﹣7

x=﹣7时,y=﹣×(﹣72+×(﹣7+4=﹣

此时P(﹣7,﹣);

②当P在抛物线对称轴的右侧时,如图3

∴点P的横坐标为13

x13时,y=﹣×132+×13+4=﹣

此时P13,﹣);

综上所述,点P的坐标为P3)或(﹣7,﹣)或(13,﹣);

3)如图3

A04)、B(﹣20)、C80

OA4OB2OC8

∵∠AOB=∠AOC90°

∴△AOB∽△COA

∴∠BAO=∠ACO

∵∠ACO+OAC90°

∴∠BAO+OAC90°

∴∠BAC90°

∴△ABC是直角三角形,

∴△ABC的外心就是斜边BC的中点E

BC10

BC的中点E的坐标为(30),

即平移后的解析式经过E30),

∴相当于把原抛物线向右平移5个单位,

∴平移后的解析式为:y=﹣x352+=﹣+4x

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31

32

40

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