Question

⑴操作：如图23－1，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．

    求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

   ⑵思考：如图23－2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为__________时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；如图23－3，当扇形纸板的圆心角为_________时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.(直接填空)

   ⑶探究：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为________度时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；

这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明)；若不是定值，请说明理由。

 

 

 

 

 

Answer 1

⑴在正方形ABCD中，设扇形两半径交AB、AD分别于E、F

作连结OA、OD．

∵O是正方形ABCD的中心，

∴OA = OD，∠OAD =∠ODA = 45°，

∴∠AOD = 90°∵扇形的圆心角∠EOF = 90°

∴∠AOE＋∠AOF = ∠DOF + ∠AOF

∴∠AOE =∠DOF

∴△AOE≌△DOF(ASA)

∴AE = DF

所以被纸板覆盖部分的总长度为AF + EF = AF + DF = AD = a为定值．

⑵120°，72°

⑶

是定值，被纸板覆盖部分的面积是．