Question

【题目】已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，M、N分别是边BC，CD上的两个动点，∠MAN=60°，AM、AN分别交BD于E、F两点．

（1）如图1，求证：CM+CN=BC；

（2）如图2，过点E作EG∥AN交DC延长线于点G，求证：EG=EA；

（3）如图3，若AB=1，∠AED=45°，直接写出EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）如图1中，在AC上截取CG，使得CG=CM．首先证明△BAM≌△CAN，推出AM=AN，△AMN是等边三角形，再证明△AMG≌△NMC即可解决问题；（2）如图2中，想办法证明AE=EC，EC=EG即可解决问题；（3）如图3中，将△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADQ，首先证明△FQD是特殊直角三角形，设DQ=x，构建方程即可解决问题；

（1）证明：如图1中，在AC上截取CG，使得CG=CM．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵AB=AC，∠B=∠ACN=60°，

∴△BAM≌△CAN，

∴AM=AN，

∵∠MAN=60°，

∴△AMN是等边三角形，

∵CM=CG，∠MCG=60°，

∴△CMG是等边三角形，

∴MA=MN，MG=MC，

∵∠AMN=∠GMC=60°，

∴∠AMG=∠NMC，

∴△AMG≌△NMC，

∴AG=CN，

∴BC=AC=CG+AG=CM+CN，

即BC=CM+CN．

（2）证明：如图2中，连接EC．

∵BA=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，

∴△ABE≌△CBE，

∴AE=EC，∠BAE=∠BCE，

∵EG∥AN，

∴∠G=∠AND，

∵∠AND=∠CAN+∠ACN=60°+∠CAN，∠ECG=60°+∠ECB，

∵∠ECB=∠BAE=∠CAN，

∴∠ECG=∠AND=∠G，

∴EC=EG，

∴EA=EG．

（3）解：如图3中，将△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADQ，

易证△AFE≌△AFQ，

∴∠AEF=∠AQF=45°，

∵∠AEB=∠AQD=135°，

∴∠FQD=90°，

∵∠QDF=∠ADQ+∠ADF=60°，设DQ=BE=x，则DF=2x，EF=FQ=x，

∵AB=AD=1，∠ABD=30°，

∴BD=，

∴x+2x+x=，

∴x=，

∴EF=x=．