Question

16．一次函数y=kx+b的图象与x，y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该直线的解析式．
（2）请判断点（1，2）是否在函数图象上；
（3）O为坐标原点，C（1，0）为OA上的点，D（1，2）为AB上的点，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、B的坐标代入y=kx+b并计算出k、b的值，从而得出解析式；
（2）利用代入法验证（1，2）是否在函数图象上即可；
（3）取点C关于点O的对称点为C′，连接DC′，即C′、P、D共线时，PC+PD的最小值是C′D．在直角三角形C′CD中，根据勾股定理，可得C′D的长，根据三角形的中位线定理已知点P的坐标．

解答 解：（1）把点A（2，0），B（0，4）代入解析式y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$
则一次函数的解析式为y=-2x+4；
（2）当x=1时，y=-2×1+4=2，所以点在函数图象上；
（3）如图，

∵点C的坐标为（1，0），
则C关于y轴的对称点为C′（-1，0），
又∵点D的坐标为（1，2），
连接C′D，设C′D的解析式为y=kx+b，
有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴y=x+1是DC′的解析式，
∵x=0，
∴y=1，
即P（0，1）．
∵PC+PD的最小值=C′D，
∴由勾股定理得C′D=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一次函数的综合应用及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决．