Question

【题目】已知：是的直径，，是的切线，是上一动点，若，，，则的面积的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

过点D作DQ⊥BC于点Q，则四边形ABQD是矩形，进而求出，作MN∥CD与相切与点P，此时，点P是上所有的点中，到MN距离最小的点，即：此时，的面积的最小值= 平行四边形MNCD面积的一半．过点M作ME⊥BC于点E，则AM=BE，ME=AB=8，通过切线长定理，列方程，求出BE=2，进而得到：NC=8，求出平行四边形MNCD的面积，即可得到答案．

∵是的直径，，是的切线，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，

∴AD∥BC，即：四边形ABCD是直角梯形，

过点D作DQ⊥BC于点Q，则四边形ABQD是矩形，

∵，，，

∴QC=BC-BQ=BC-AD=16-10=6，DQ=AB=2×4=8，

∴，

作MN∥CD与相切与点P，此时，点P是上所有的点中，到MN距离最小的点，即：此时，的面积的最小值= 平行四边形MNCD面积的一半．

过点M作ME⊥BC于点E，则AM=BE，ME=AB=8，

∵MN=CD=10，

∴，

∵MN是的切线，

∴MP=MA，NP=NB，

设MP=MA=BE=x，

∴10-x=6+x，解得：x=2，

∴BN=EN+BE=6+2=8，

∴NC=BC-BN=16-8=8，

∴平行四边形MNCD的面积=NC×DQ=8×8=64，

∴的面积的最小值=64÷2=32．

故选B．