Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴交于A（－1，0），与y轴交于点C.以直线x=2为对称轴的抛物线经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B.

（1）（3分）求m的值及抛物线的函数表达式.

（2）（5分）设点，若F是抛物线对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于两点，试探究是否为定值？请说明理由.

（3）（4分）将抛物线C₁作适当平移，得到抛物线，若当时，恒成立，求m的最大值.

                                                                  

                                                               

　

Answer 1

（1）,抛物线……………………………………            3′

（2）要使△ADF周长最小，只需AD+FD最小，

∵A与B关于x=2对称

∴只需BF+DF最小

又∵BF+DF≥BD

∴F为BD与x=2的交点

        BD直线为，当x=2时

∴

∵

∴

同理

∴

又∵

∴

∴

∴            ………………………………              8′

      （3）法一：

设的两根分别为

∵抛物线可以看成由左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，的值不断增大

∴当学习恒成立时，最大值在处取得

∴当时，对应的即为的最大值

将代入得

∴                                               10′

将代入有

∴

∴的最大值为9                     ………………………………… 12′

法二：恒成立

化简得，，恒成立

设，如图则有

                                                      10′

即

∴

∴的最大值为9                            …………………………