Question

7．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、BD、AC与BD相交于点F，连接EF，对于下列四种说法：
①四边形AFDE是菱形；②△ABF的周长=AB+AC；③AF平分∠BFE；④CD²=CF•CA
正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，AC∥ED，BD∥AE，AE=DE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证；②由正五边形的性质可得AC=BD，由四边形AFDE是菱形，易得AE=AF=AB=DF，BF=CF，△ABF的周长=AB+AF+BF=AB+AF+CF=AB+AC；③由四边形AFDE是菱形，易得∠AFE=∠DEF，∠AFB=∠EDF，由正五边形的性质得∠AED=108°，∠FED=∠EFD=54°，∠EDF=72°，可得∠AFE≠∠AFB，证得结论；④可证△CAD∽△CDF，由相似三角形的性质$\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CF}$，易得结论．

解答 解：①∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，AC∥DE，BD∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AE=DE，
∴四边形AFDE是菱形，
故此选项正确；
②由正五边形的性质可得AC=BD，
∵四边形AFDE是菱形，
∴AE=AF=AB=DF，
∴BF=CF，
∴△ABF的周长=AB+AF+BF=AB+AF+CF=AB+AC，
故此选项正确；
③∵四边形AFDE是菱形，
∴∠AFE=∠DEF，∠AFB=∠EDF，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AED=108°，
∴∠FED=∠EFD=54°，∠EDF=72°，
∴∠AFE≠∠AFB，
故此选项错误；
④∵五边形ABCDE是正五边形，四边形AFDE是菱形，
∴DF=DC，AC=AD
∴∠DCF=∠DFC，∠ACD=∠ADC，
∵∠FAE=∠EDF=72°，∠CDE=108°，
∴∠CDF=36°，∠CAD=36°，
∴∠DCF=∠DFC=72°，
∴∠CAD=∠CDF，∠DCF=∠ACD，
∴△CAD∽△CDF，
∴$\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CF}$，
∴CD²=CF•CA，
故此选项正确，
正确的说法有：①②④，共3个．
故选C．

点评 本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定，综合考察的知识点较多，解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．