设k≠0.若函数y1=(x-k)2+2k和y2=-(x+k)2-2k的图象与y轴依次交于A.B两点.函数y1.y2的图象的顶点分别为C.D．(1)当k=1时.请在同一直角坐标系中.分别画出函数y1.y2的草图.并根据图象．写出y1.y2两图象的位置关系,(2)当-2＜k＜0时.求线段AB长的取值范围,(3)A.B.C.D四点构成的图形是否为平行四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

设k≠0，若函数y₁=（x-k）²+2k和y₂=-（x+k）²-2k的图象与y轴依次交于A，B两点，函数y₁，y₂的图象的顶点分别为C，D．
（1）当k=1时，请在同一直角坐标系中，分别画出函数y₁，y₂的草图，并根据图象．写出y₁，y₂两图象的位置关系；
（2）当-2＜k＜0时，求线段AB长的取值范围；
（3）A，B，C，D四点构成的图形是否为平行四边形？若是平行四边形，则是否构成菱形或矩形？若能构成菱形或矩形，请直接写出k的值．

分析（1）取k=1可得两函数解析式，并作出草图；
（2）由函数解析式求出A，B，C，D的坐标，进一步求得AB，利用二次函数性质求得范围；
（3）根据A，B，C，D四点坐标，利用对称的性质，可以证明构四边形ADBC是平行四边形，再根据OA=OC时四边形是矩形，列出方程解决，由于点C、D不在x轴上，所以不可能是菱形．

解答解：（1）k=1时，y₁=（x-1）²+2和y₂=-（x+1）²-2的图象如图所示，这两个函数图象关于原点对称．

（2）∵点A（0，k²+2k，），B（0，-k²-2k），
∴AB=|k²+2k-（-k²-2k）|=|2k²+4k|，
∵-2＜k＜0，
∴AB是最小值为O，最大值为2，
∴0＜AB≤2．
（3）∵点A（0，k²+2k，），B（0，-k²-2k），C（k，2k），D（-k，-2k），
∴A、B关于原点对称，C、D关于原点对称，
∴OA=OB，OC=OD，
∴四边形ADBC是平行四边形．
当OA=OC时，四边形ADBC是矩形，此时k²+2k=±$\sqrt{5}$k，k=$\sqrt{5}$-2或-$\sqrt{5}$-2，
当OA⊥OC时，四边形ADBC是菱形，此时点C、D在x轴上，与k≠0矛盾．
∴四边形ADBC不可能是菱形．

点评本题考查二次函数的图象、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、对称等知识，解题的关键是利用对称的性质，属于中考常考题型，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．

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D．

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