Question

已知：如图，C是线段BD上一点，AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACE=90°，tan∠ACB=2，AB=4，ED=3．求：
（1）线段BD的长；
（2）∠AEC的正切值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形ABC与三角形DCE相似，由相似得比例，根据锐角三角函数定义及tan∠ACB的值，求出BC与CD的值，根据BC+CD求出BD的值即可；
（2）由三角形ABC与三角形DCE相似，根据AB与CD长求出相似比，进而求出AC与CE的比值，即为∠AEC的正切值．

解答：解：（1）∵∠ACE=90°，AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ACB+∠ECD=90°，∠ACB+∠BAC=90°，∠B=∠D=90°，
∴∠BAC=∠ECD，
∴△ABC∽△CDE，
∴

AB

BC

=

CD

ED

，
∵tan∠ACB=

AB

BC

=2，AB=4，ED=3，
∴

CD

ED

=2，即BC=2，CD=6，
则BD=BC+CD=2+6=8；

（2）∵△ABC∽△CDE，
∴

AC

CE

=

AB

CD

=

4

6

=

2

3

，
则tan∠AEC=

AC

CE

=

2

3

．

点评：此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．