Question

如图，D是⊙O弦BC的中点，A是

BC

上一点，OA与BC交于点E，已知AO=8，BC=12．
（1）求线段OD的长；
（2）当EO=

2

BE时，求∠DEO的余弦值．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BD=

1

2

BC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可得出结论；
（2）在Rt△EOD中，设BE=x，则OE=

2

x，ED=6-x，再根据勾股定理即可得出结论．

解答：解：（1）连接OB．
∵OD过圆心，且D是弦BC中点，
∴OD⊥BC，BD=

1

2

BC，
在Rt△BOD中，OD²+BD²=BO²．
∵BO=AO=8，BD=6．
∴OD=2

7

；

（2）在Rt△EOD中，OD²+ED²=EO²．
设BE=x，则OE=

2

x，ED=6-x．
（2

7

）²+（6-x）²=（

2

x）²，
解得x₁=-16（舍），x₂=4．
∴ED=2，EO=4

2

．
在Rt△EOD中，cos∠DEO=

2

4

．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．