Question

19．如图，已知过原点的直线与双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0）交于A、B两点，点A到x轴的距离是它到y轴距离的一半，点B的纵坐标为-2．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求k的值；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0）于P，Q两点（点P在第一象限），若以A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1，作辅助线，证明△AOC∽△BOD，根据OC=2AC，得OD=2BD，由此得出点B的坐标，利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）因为点B在反比例函数的图象上，所以把点B的坐标代入反比例函数解析式中可得k的值；
（3）根据中心对称的性质可得：四边形APBQ是平行四边形，得出△AOP的面积为6，设设P（m，$\frac{8}{m}$）（m＞0，且m≠4），根据△AOP的面积列等式可求出m的值，从而得到点P的坐标．

解答 解：（1）如图1，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，则AC∥BD，
由题意得：OC=2AC，
∵AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{BD}{OD}$，
∴$\frac{BD}{OD}=\frac{AC}{2AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OD=2BD，
∵点B的纵坐标为-2，
∴BD=2，
∴OD=4，
∴B（-4，-2），
设直线AB的解析式为：y=kx，
把B（-4，-2）代入得：-4k=-2，
k=$\frac{1}{2}$，
∴直线AB的解析式为：y=2x；
（2）把B（-4，-2）代入y=$\frac{k}{x}$中得：k=-4×（-2）=8；
（3）如图2，∵反比例函数的图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S_△POA=$\frac{1}{4}$S_{平行四边形APBQ}=$\frac{1}{4}$×24=6，
设P（m，$\frac{8}{m}$）（m＞0，且m≠4），
分别过P、A作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则G（m，$\frac{m}{2}$），
∵B（-4，-2），
∴A（4，2），
∴OF=4，
PG=$\frac{8}{m}$-$\frac{m}{2}$，
∴S_△POA=S_△POG+S_△PAG=$\frac{1}{2}$PG•OE+$\frac{1}{2}$PG•EF=$\frac{1}{2}$PG•OF，
∴$\frac{1}{2}$×4（$\frac{8}{m}$-$\frac{m}{2}$）=6，
m²+6m-16=0，
（m+8）（m-2）=0，
m₁=-8（舍），m₂=2，
∴P（2，4）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求函数的解析式及中心对称的性质，掌握反比例函数是中心对称图形，同时将平行四边形的面积转化为三角形的面积求解．