Question

1．如图，以△ABC的AB边为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，且DE⊥AC，连接EO．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=5，AE=1，求tan∠AEO的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，根据切线的性质得OD⊥DE，则可判断OD∥AC，根据平行线的性质得∠C=∠1，加上∠B=∠1，则∠C=∠B，于是可判定AB=AC；
（2）连接AD，如图2．先利用三角形中位线性质得到OD=$\frac{5}{2}$，再证明△CDE∽△DAE，利用相似比求出DE=2，则利用正切定义得到$tan∠2=\frac{DE}{OD}=\frac{4}{5}$，然后利用OD∥AC得到∠AEO=∠2，所以得到$tan∠AEO=\frac{4}{5}$．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵OD是⊙O半径，DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠C=∠1，
∵OD=OB，
∴∠B=∠1，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC；

（2）连接AD，如图．
∵AB=5，AE=1，
∴OD=$\frac{5}{2}$，AC=AB=5，EC=4．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠CDE=90°，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CDE，
∴△CDE∽△DAE，
∴DE²=CE•AE=4×1=4，
∴DE=2，
在Rt△EDO中，$tan∠2=\frac{DE}{OD}=\frac{4}{5}$，
∵OD∥AC，
∴∠AEO=∠2．
∴$tan∠AEO=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了相似三角形的判定与性质．