Question

2．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为$\frac{28}{5}$．

Answer 1

分析 认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案．

解答 解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，
    
当PM⊥AB时，PM最短，
因为直线y=$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴分别交于点A，B，
可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，-3），
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，
∴△PBM∽△ABO，
∴$\frac{PB}{AB}$=$\frac{PM}{AO}$，
即：$\frac{7}{5}=\frac{PM}{4}$，
所以可得：PM=$\frac{28}{5}$．

点评 本题主要考查了垂线段最短，以及三角形相似的性质与判定等知识点，是综合性比较强的题目，注意认真总结．