Question

如图，△ACB为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，∠EOF=45°
（1）求证：△AOE∽△BFO；
（2）若AB=4，求AE•BF的值．

Answer 1

（1）证明：∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠EOF=45°，
∴∠AOE+∠BOF=180°-∠EOF=135°，
而∠BOF+∠BFO=180°-∠B=135°，
∴∠AOE=∠BFO，
∴△AOE∽△BFO；

（2）解：∵点O为斜边AB的中点，
∴AO=BO=AB=×4=2，
∵△AOE∽△BFO，
∴=，
∴AE•BF=AO•BO=2×2=4．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°，利用平角的定义得∠AOE+∠BOF=180°-∠EOF=135°，根据三角形内角和定理得∠BOF+∠BFO=180°-∠B=135°，
则∠AOE=∠BFO，然后根据三角形相似的判定方法即可得到△AOE∽△BFO；
（2）先利用中点得到AO=BO=2，然后利用△AOE∽△BFO，根据相似比可计算AE•BF的值．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等．