Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上.

（1）求证：BE=CE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其他条件不变.求证：EF=CF.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE=∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；

（2）由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由条件证明△AEF≌△BCF就可以得出结论．

证明：(1)∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠EAB=∠EAC，

在△ABE和△ACE中，

∵ ，

∴△ABE≌△ACE(SAS)，

∴BE=CE；

(2)∵BF⊥AF，

∴∠AFB=∠CFB=90°.

∵∠BAC=45°，

∴∠ABF=45°，

∴∠ABF=∠BAC，

∴AF=BF.

∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C=90°，

∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中，

，

∴△AEF≌△BCF(ASA)

∴EF=CF.