Question

19．已知，如图，四边形ABCD中，AD⊥CD，BC⊥AB，AE平分∠BAD，CF平分∠DCB．AE交CD于点E，CF交AB于点F，问AE与CF是否平行？为什么？

Answer 1

分析 先根据四边形内角和定理得出∠BAD+∠DCB=180°，再由角平分线的定义得出∠DCF=∠BCF，∠DAE=∠BAE，再根据直角三角形的性质可得出∠BFC+∠DCF=BFC+∠BCF=90°，故可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠DCB=180°，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，
∴∠DCF=∠BCF，∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE+∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠DCB）=90°．
又∵∠BFC+∠DCF=∠BFC+∠BCF=90°，
∴∠BAE=∠BFC，
∴AE∥CF．

点评 本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，多边形的内角和，是基础题，难度不大，推出同位角相等是解题的关键．