Question

【题目】已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示）．

（1）求二次函数y＝﹣x2+x+6的顶点坐标和x轴的交点坐标；

（2）直接写出新函数对应的解析式；

（3）当直线y＝﹣x+m与新图象有四个交点时，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）顶点坐标为（，），和x轴的交点坐标（﹣2，0），（3，0）；（2）当x＜﹣2或x＞3时，y＝﹣x2+x+6；当﹣2≤x≤3时，y＝x2﹣x﹣6；（3）m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．

【解析】

（1）令y=0，解方程﹣x2+x+6=0，可得与x轴交点坐标为（﹣2，0），（3，0），把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；

（2）利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），故可得出新函数对应的解析式；

（3）求出直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．

（1）如图，当y=0时，即﹣x2+x+6=0，

解得：x1=﹣2，x2=3，

则与x轴交点坐标为（﹣2，0），（3，0）．

∵y=﹣x2+x+6=﹣（x）2，

∴顶点坐标为（，）；

（2）将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），

故当x＜﹣2或x＞3时，y=﹣x2+x+6；

当﹣2≤x≤3时，y=x2﹣x﹣6；

（3）当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得：m=﹣2；

当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，即方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有两个相等的实数解，整理得：x2﹣6﹣m=0，

则△=-4（-6-m）=0

解得：m=﹣6，

所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．