Question

直线y=－x+b与双曲线相交于点D(－4，1)、C(1，m)，并分别与坐标轴交于A、B两点，过点C作直线MN⊥x轴于F点，连接BF．

（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）作出△ABF的外接圆，并求出圆心I的坐标；
（3）在（2）中⊙I与直线MN的另一交点为E，判断点D、I、E是否共线？说明理由.

Answer 1

（1）y=－x－3，y=；（2）I（－1，－1）；（3）不共线

试题分析：（1）先由题意直接把点D(－4，1)代入直线y=－x+b与双曲线求解即可；
（2）根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点即可求得结果；
（3）先求得⊙I与直线MN的另一交点E的坐标，再求得过D、I的直线解析式，即可作出判断.
（1）∵直线y=－x+b与双曲线相交于点D(－4，1)
∴，解得
∴直线解析式为y=－x－3，双曲线解析式为y=；
（2）在y=－x－3中，当y=0时x=－3，即点A的坐标为（－3，0）
而点F的坐标为（1，0），则AF的中点的坐标为（－1，0）
在y=－x－3中，当x=－1时y=－1
所以圆心I的坐标为（－1，－1）；
（3）由题意得⊙I与直线MN的另一交点E的坐标为（1，－2）
易得过D、I的直线解析式
当x=1时，
∴点D、I、,E不共线.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．