在四边形OABC中.AB∥OC.∠OAB=90°.∠OCB=60°.AB=2.OA=2$\sqrt{3}$．(1)如图1.连结OB.请直接写出OB的长度,(2)如图2.过点O作OH⊥BC于交BC于H.动点P从点H出发.沿线段HO向点O运动.动点Q从点O出发.沿线段OA向点A运动.两点同时出发.速度都为每秒1个单位长度.设点P运动的时间为t秒.△OPQ的面积为S．①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．

在四边形OABC中，AB∥OC，∠OAB=90°，∠OCB=60°，AB=2，OA=2$\sqrt{3}$．
（1）如图1，连结OB，请直接写出OB的长度；
（2）如图2，过点O作OH⊥BC于交BC于H，动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，设点P运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S（平方单位）．
①求S与t之间的函数关系式；
②设PQ与OB交于点M，当△OPM等等腰三角形时，试求出△OPQ的面积S的值．

分析（1）根据勾股定理即可求得OB的长；
（2）①根据题意得出△BOC为等边三角形，进而得出OH的长，从而表示出OP的长，进一步表示出P点坐标，进而利用S=$\frac{1}{2}$OQ•x_p求出即可；②利用（i）若OM=PM，（ii）若OP=OM，（iii）若OP=PM，分别分析得出即可．

解答解：（1）∵在Rt△ABO中，AB=2，OA=2$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4；

（2）①如图，建立平面坐标系，

∵tan∠ABO=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°，
∵AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC=60°，
∵∠BCO=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OH=OB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴OH=AO=2$\sqrt{3}$，
∴OP=OH-PH=2$\sqrt{3}$-t，
∴x_p=OP•cos30°=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，y_p=OP•sin30°=$\sqrt{3}$-$\frac{t}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$OQ•x_p
=$\frac{1}{2}$t（3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t （0＜t＜2$\sqrt{3}$），
②若△OPM为等腰三角形，则：
（i）如图2，若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC，

∴PQ∥OC，
∴OQ=y_p
即t=$\sqrt{3}$-$\frac{t}{2}$，
解得：t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此时S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+$\frac{3}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（ii）如图3，若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，

∴∠OQP=45°，
过点P作PE⊥OA，垂足为E，则有：EQ=EP，
即t-（$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t）=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
解得：t=2，
此时S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²+$\frac{3}{2}$×2=3-$\sqrt{3}$；
（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB，
∴PQ∥OA，
此时Q在AB上，不满足题意．

点评此题主要考查了四边形综合以及锐角三角函数关系和等边三角形、等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．

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