Question

对于任意给定的n个自然数，其中一定存在若干个数，它们的和是n的倍数．

Answer 1

考点：抽屉原理

专题：数字问题,证明题

分析：假设n个自然数是a₁，a₂，a₃，a_n，而且考虑如下形式的和：S₁=a₁，S₂=a₁+a₂，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．讨论这n个和S₁，S₂，S_n中，是否存在一个数是n的倍数，若不存在，则根据屉原则，必然存在两个数它们被n除的余数相同，进而证明两个数的差S_k-S_j一定是n的倍数．

解答：解：假设n个自然数是a₁，a₂，a₃，…，a_n，而且考虑如下形式的和：S₁=a₁，S₂=a₁+a₂，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
如果在这n个和S₁，S₂，S_n中，存在一个数是n的倍数，则原命题成立．
如果在n个和S₁，S₂，S_n中，没有n的倍数的数，那么它们被n除所得的余数只可能是1，2，n-1共n-1种情况．但由于S₁，S₂，S_n共有n个数，从而根据抽屉原则，必然存在两个数它们被n除的余数相同．不妨设在这两个数是S_k与S_j（k＞j），那么这两个数的差S_k-S_j一定是n的倍数．
也就是说，有：S_k-S_j=（a₁+a₂+a₃+…+a_j+a_j+a_j+2+…+a_k）-（a₁+a₂+a₃+…+a_j）=a_j+1+a_j+2+…+a_k，
这表明：这时从第j+1个数起，一直到第k个数．它们的和正好是n的倍数．

点评：本题主要考查抽屉原理的知识点，解答本题的关键是讨论这n个和S₁，S₂，S_n中，是否存在一个数是n的倍数，利用抽屉原理进行解答，本题难度较大．