Question

9．观察下列各式的规律：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…
（1）若n为正整数，请你猜想$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2012×2013}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知数据分母的变化直接猜想得出即可；
（2）利用分式的加减运算法则化简得出即可；
（3）利用已知代入将原式变形进而求出即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
故答案为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）证明：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+1}{n（n+1）}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
故猜想正确；

（3）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2012×2013}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2013}$
=1-$\frac{1}{2013}$
=$\frac{2012}{2013}$．

点评 此题主要考查了分式的加减运算，正确化简分式是解题关键．