Question

20．如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当BE=OB，且CE=$\sqrt{3}$时，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；
（2）由BE=OB，AB=2BE得到BO=BE=CO，设BO=BE=CO=x，所以OE=2x，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x，最后利用三角函数的定义即可求解．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC=∠DAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴CD⊥OC，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：设OC=OB=BE=x，则OE=2OC，
∴∠E=30°
在Rt△OCE中，x²+${\sqrt{3}^2}$=4x²，
x=1，
∴AE=3，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3}{2}$．

点评 此题主要考查了切线的判定与性质，同时也利用了圆周角定理及勾股定理，首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的性质、勾股定理列出方程解决问题．