Question

5．数学中，把长与宽之比为$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$（或宽与长之比为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$）的矩形称为黄金矩形．思考解决下列问题：
（1）已知图1中黄金矩形ABGF的长AF=1，求AB的长；
（2）黄金矩形有个奇妙的特性：把图1中的黄金矩形ABGF，以AB为边向矩形内作正方形ABCD，则矩形DCGF是否为黄金矩形，是请予以证明，不是请说明理由．
（3）黄金矩形使名画《蒙娜丽莎》显得特别和谐，专家分析画中布局如图2，期中最外面的矩形是黄金矩形，以黄金矩形的宽为边向矩形内部做正方形，由上小题知产生的小矩形为更小的黄金矩形，按此规律依次生成各黄金矩形，若图3中最大黄金矩形的长为a，则最小黄金矩形的长是多少？

Answer 1

分析 （1）由黄金矩形的定义可得：$\frac{AB}{AF}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，将AF=1代入，计算即可求出AB的长；
（2）利用AB=DC=AD和$\frac{AB}{AF}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，通过等量代换，求得$\frac{FD}{CD}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，得到矩形DCGF是黄金矩形；
（3）由$\frac{AB}{AF}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，可得AB=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$AF，即CD=FG=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$AF，即以黄金矩形的宽为边向矩形内部做正方形，产生的小矩形的长为原来矩形长的$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，由图可知，一共作正方形6次，所以最小黄金矩形的长是（$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$）⁶a．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{AB}{AF}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
又∵AF=1，
∴AB=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$；

（2）留下的矩形DCGF是黄金矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC=AD，
又∵$\frac{AB}{AF}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
∴$\frac{AD}{AF}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
即点D是线段AF的黄金分割点，$\frac{FD}{AD}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
∴$\frac{FD}{CD}$=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
∴矩形DCGF是黄金矩形；

（3）若图3中最大黄金矩形的长为a，由题意，可得最小黄金矩形的长是（$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$）⁶a．

点评 本题考查了黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）叫做黄金比．理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．