Question

10．函数y=$\frac{m}{x}$和y=$\frac{n}{x}$在第一象限内的图象如图，点P是y=$\frac{m}{x}$的图象上一点，PC⊥x轴于点C，交y=$\frac{n}{x}$的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=$\frac{n}{x}$的图象于点B，且PA=3CA，tan∠DOB=$\frac{1}{5}$，S_OAPB=3，则点B的坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 根据反比例函数系数k的几何意义得出S_OCPD=m，S_△OBD=$\frac{1}{2}$n，S_△AOC=$\frac{1}{2}$n，进而得出S_OAPB=S_OCPD-S_△OBD-S_△AOC=m-n=3，根据PA=3CA，得出$\frac{1}{2}$m=4×$\frac{1}{2}$n，即m=4n，解$\left\{\begin{array}{l}{m-n=3}\\{m=4n}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=1}\end{array}\right.$，求得点B在y=$\frac{1}{x}$图象上，所以设B（a，$\frac{1}{a}$），根据tan∠DOB=$\frac{a}{\frac{1}{a}}$=$\frac{1}{5}$，求得a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即可求得B的坐标．

解答 解：∵点P是y=$\frac{m}{x}$的图象上一点，
∴S_OCPD=m，
∵点A、点B是y=$\frac{n}{x}$的图象上一点，
∴S_△OBD=$\frac{1}{2}$n，S_△AOC=$\frac{1}{2}$n，
∴S_OAPB=S_OCPD-S_△OBD-S_△AOC=m-n=3，
连接OP，
∵PA=3CA，
∴S_△OPC=4S_△OAC，
∴$\frac{1}{2}$m=4×$\frac{1}{2}$n，
∴m=4n，
解$\left\{\begin{array}{l}{m-n=3}\\{m=4n}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴点B在y=$\frac{1}{x}$图象上，
设B（a，$\frac{1}{a}$），
∴BD=a，OD=$\frac{1}{a}$，
∵tan∠DOB=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{BD}{OD}$=$\frac{1}{5}$，即$\frac{a}{\frac{1}{a}}$=$\frac{1}{5}$，
解得a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴B（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$）．
故答案为（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|；反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=$\frac{1}{2}$|k|．该知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．