Question

8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为（　　）

• A． $\frac{25}{4}$
• B． $\frac{25}{8}$
• C． $\frac{15}{4}$
• D． $\frac{15}{8}$

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出OA的长，根据相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
∵DE垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，∠AOD=∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∴△AOD∽△CBA，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{OA}{BC}$，
即$\frac{AD}{5}$=$\frac{2.5}{4}$，
解得AD=$\frac{25}{8}$，
故选B．

点评 本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．