Question

8．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，CD切⊙O于C，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，若E是$\widehat{AC}$的中点，⊙O的半径为1，则图中阴影部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 连接EB，根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可．

解答 解：
连接EB，交OC于F，
∵E为$\widehat{AC}$的中点，
∴$\widehat{AE}=\widehat{EC}$，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
又∵∠EAC=∠OAC，
∴∠ECA=∠OAC，
∴CE∥OA，
又∵OC∥AD，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∴CE=OA，AE=OC，
又∵OA=OC=1，
∴四边形AOCE是菱形，
∵AB为直径，得到∠AEB=90°，
∴EB∥CD，
∵CD与⊙O相切，C为切点，
∴OC⊥CD，
∴OC∥AD，
∵点O为AB的中点，
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$，即CF=DE=$\frac{1}{2}$，
在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则S_阴影=S_△DEC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 此题考查了切线的判定，以及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．