Question

已知：如图五，在平行四边形ABCD中，点E、F

分别在BC、CD上，且AE＝AF，∠AEC＝∠AFC．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如图六，若AD＝AF，延长AE、DC交于点

G，求证：AF²＝AG·DF．

（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG

于点H，若HE＝4，EG＝12，求AH的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D．…………………（1分）

∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC+∠AEB＝∠AFC+∠AFD=

∴∠AEB＝∠AFD．…………（1分）

在△AEB和△AFD中：

  ∠B＝∠D

  ∠AEB＝∠AFD

  AE＝AF

∴△AEB≌△AFD，………………（1分）

∴AB＝AD，

∴平行四边形ABCD是菱形．………………（1分）

（2）∵△AEB≌△AFD，∴∠BAE＝∠DAF．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG, ∴∠BAE＝∠G，

∴∠G＝∠DAF．

又∵∠ADF＝∠GDA，∴△GAD∽△AFD………………（2分）

∴DA︰DF＝DG︰DA，∴DA²＝DG·DF……………（1分）

∵DG︰DA＝AG︰FA，且AD＝AF，∴DG＝AG．

又∵AD＝AF，∴AF²＝AG·DF．……………………（1分）

（3）在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，

∴AH︰HG＝BH︰HD，………………（1分）

BH︰HD＝EH︰AH，………………（1分）

∴AH︰HG＝EH︰AH．………………（1分）

∵HE＝4，EG＝12，

∴AH︰16＝4︰AH，∴AH＝8．………………（1分）