Question

【题目】如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=900，且EF交正方形外角的平分线CF于点F

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．

①AE=EF是否总成立？请给出证明；

②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线上，求此时点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）△AGE与△ECF（2）①成立②

【解析】

（1）取AB的中点G，连接EG，利用ASA能得到△AGE与△ECF全等．

（2）①在AB上截取AG=EC，由ASA证得△AGE≌△ECF即可证得AE=EF．

②过点F作FH⊥x轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a－1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好落在抛物线上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标．

解：（1）如图，取AB的中点G，连接EG，则△AGE与△ECF全等．

（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．证明如下：如图，

在AB上截取AG=EC，

∵AB=BC，

∴BG=BE．

∴△GBE是等腰直角三角形．

∴∠AGE=180°－45°=135°．

又∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°．

∴∠AGE=∠ECF．

又∵∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF．

∴△AGE≌△ECF（ASA）．

∴AE=EF．

②过点F作FH⊥x轴于H，

由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a－1．

∴点F的坐标为F（a，a－1）．

∵点F恰好落在抛物线上，

∴．

∴a2=2．∴（负值不合题意，舍去）．

∴．∴点F的坐标为．