【题目】定义：如果三角形的两个内角
与
满足
，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在
中，
，
，
，
是
的平分线．
①证明
是“类直角三角形”；
②试问在边
上是否存在点
（异于点
），使得
也是“类直角三角形”？若存在，请求出
的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，内接于
，直径
，弦
，点是弧
上一动点（包括端点
，），延长
至点
，连结，且
，当
是“类直角三角形”时，求的长．
【答案】（1）①证明见解析，②存在，
；（2）
或
．
【解析】
（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．
②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．证明△ABC∽△BEC，可得
，由此构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形：①如图2中，当∠ABC+2∠C=90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF=∠DOA．
②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，可证∠C+2∠ABC=90°，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
（1）①证明：如图1中，
∵
是
的角平分线，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，
∴
为“类直角三角形”．
②如图1中，假设在
边设上存在点
（异于点
），使得
是“类直角三角形”．在
中，∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
∴
，∴
，
∴，
∴
，
（2）∵
是直径，∴
，∵
，
，∴
，
①如图2中，当
时，作点关于直线的对称点
，连接
，
．则点在
上，且
，
∵
，且
，∴
，∴
，
，共线，
∵
∴
，∴
，∴
，即
∴
．
②如图3中，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，
平分
，
∴
，∵
，
，∴
，
∴
，即
，∴
，且
中
解得
综上所述，当
是“类直角三角形”时，的长为或．
开心快乐假期作业暑假作业西安出版社系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是直径，D在⊙O上，且AC平分∠BCD，AE∥BC，交CD于E，F在CD的延长线上，且AE＝EF．连接AF
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）连接BF交AE于G，若AB＝12，AE＝13，求AG的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的学生共有___________人，估计该校
名学生中“不了解”的人数是__________人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）“非常了解”的
人中有
，
两名男生，
，
两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到
名男生的概率．
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【题目】如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=900，且EF交正方形外角的平分线CF于点F
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线
上，求此时点F的坐标．
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【题目】如图，在下列
（边长为1）的网格中，已知
的三个顶点
，
，
在格点上，请分别按不同要求在网格中描出一个点，并写出点的坐标．
（1）经过，，三点有一条抛物线，请在图1中描出点
，使点落在格点上，同时也落在这条抛物线上；则点的坐标为______；
（2）经过，，三点有一个圆，请用无刻度的直尺在图2中画出圆心
；则点的坐标为______．
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【题目】某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？
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【题目】已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港(精确到1小时)（该船在C岛停留半个小时）?（
，
，
）
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【题目】草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3cm，过点A作∠EAF＝60°，分别交DC，BC的延长线于点E，F，连接EF．
（1）如图1，当CE＝CF时，判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）若△AEF是直角三角形，求CE，CF的长度；
（3）当CE，CF的长度发生变化时，△CEF的面积是否会发生变化，请说明理由．
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