[题目]定义:如果三角形的两个内角与满足.那么称这样的三角形为“类直角三角形．尝试运用(1)如图1.在中....是的平分线．①证明是“类直角三角形 ,②试问在边上是否存在点(异于点).使得也是“类直角三角形 ?若存在.请求出的长,若不存在.请说明理由．类比拓展(2)如图2.内接于.直径.弦.点是弧上一动点(包括端点.).延长至点.连结.且.当是“� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．

尝试运用

（1）如图1，在中，，，，是的平分线．

①证明是“类直角三角形”；

②试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“类直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

类比拓展

（2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（包括端点，），延长至点，连结，且，当是“类直角三角形”时，求的长．

【答案】（1）①证明见解析，②存在，；（2）或．

【解析】

（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．
②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．证明△ABC∽△BEC，可得，由此构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形：①如图2中，当∠ABC+2∠C=90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF=∠DOA．
②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，可证∠C+2∠ABC=90°，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．

（1）①证明：如图1中，

∵是的角平分线，

∴，

∵，∴，

∴，

∴为“类直角三角形”．

②如图1中，假设在边设上存在点（异于点），使得是“类直角三角形”．在

中，∵，，

∴，

∵，

∴，

∵

∴，∴，

∴，

（2）∵是直径，∴，∵，，∴，

①如图2中，当时，作点关于直线的对称点，连接，．则点在上，且，

∵，且，∴，∴，，共线，

∵∴，∴，∴，即

∴．

②如图3中，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，平分，

∴，∵，，∴，

∴，即，∴，且中

解得

综上所述，当是“类直角三角形”时，的长为或．

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