Question

11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长交AG于N．
（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；
（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S 关于时间t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）四种情况：当点M为AC的中点时，AM=BM；当点M与点C重合时，AB=BM；当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB；当点M为CG的中点时，AM=BM；△ABM为等腰三角形；
（2）在AB上截取AK=AN，连接KN；由正方形的性质得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先证出∠BKN=∠NDH，再证出∠ABN=∠DNH，由ASA证明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；
（3）①当M在AC上时，即0＜t≤2$\sqrt{2}$时，△AMF为等腰直角三角形，得出AF=FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，求出S=$\frac{1}{2}$AF•FM=$\frac{1}{4}$t²；当t=2$\sqrt{2}$时，即可求出S的最大值；
②当M在CG上时，即2$\sqrt{2}$＜t＜4$\sqrt{2}$时，先证明△ACD≌△GCD，得出∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，证出△MFG为等腰直角三角形，得出FG=MG•cos45°=4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，得出S=S_△ACG-S_△CMJ-S_△FMG．

解答 解：（1）点M为AC中点时，AM=BM，△ABM为等腰三角形
点M与点C重合时，AB=BM，△ABM为等腰三角形
点M为在AC上，且AM=2时，AB=AM，△ABM为等腰三角形
点M为CG中点时，AM=BM，△ABM为等腰三角形；

（2）（2）证明：在AB上截取AK=AN，连接KN；如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AB=AD，
∴∠CDG=90°，
∵BK=AB-AK，ND=AD-AN，
∴BK=DN，
∵DH平分∠CDG，
∴∠CDH=45°，
∴∠NDH=90°+45°=135°，
∴∠BKN=180°-∠AKN=135°，
∴∠BKN=∠NDH，
在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°，
又∵BN⊥NH，
即∠BNH=90°，
∴∠ANB+∠DNH=180°-∠BNH=90°，
∴∠ABN=∠DNH，
∴BNK≌△NHD（ASA），
∴BN=NH．
（3）①当点M在AC上时，即0＜t≤2$\sqrt{2}$时，易知：△AMF为等腰直角三角形．
∵AM=t，∴AF=FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}t$．
∴S=$\frac{1}{2}$AF•FM=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}t$•$\frac{\sqrt{2}}{2}t$=$\frac{1}{4}$t²；
当点M在CG上时，即2$\sqrt{2}$＜t＜4$\sqrt{2}$时，CM=t-2$\sqrt{2}$，MG=4$\sqrt{2}$-t．
∵AD=DG，∠ADC=∠CDG，CD=CD，
∴△ACD≌△GCD（SAS），
∴∠ACD=∠GCD=45°
∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°
∴∠G=90-∠GCD=90°-45°=45°
∴△MFG为等腰直角三角形．
∴FG=4-$\frac{\sqrt{2}}{2}t$，
∴S=S_△ACG-S_△ACJ-S_△FMC=$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×CM•CM-$\frac{1}{2}$FG•FM
=4-$\frac{1}{2}$（t-2$\sqrt{2}$）2-$\frac{1}{2}（4-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=-$\frac{3}{4}$t²+4$\sqrt{2}$t-8
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}（0＜t≤2\sqrt{2}）}\\{-\frac{3}{4}{t}^{2}+4\sqrt{2}t-8（2\sqrt{2}＜t＜4\sqrt{2}）}\end{array}\right.$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了等腰三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数以及三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形全等和等腰直角三角形才能得出结果．