Question

1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（1，0），B（3，0）．探究：抛物线y=x²-2mx+m²-4（m为常数）交x轴于点M，N两点；
（1）当m=2时，求出抛物线的顶点坐标及线段MN的长；
（2）对于抛物线y=x²-2mx+m²-4（m为常数）．
①线段MN的长度是否发生改变，请说明理由；
②若该抛物线与线段AB有公共点，请直接写出m的取值范围；
拓展：对于抛物线y=a²（x-b）²-4（a，b为常数，且满足a=$\frac{1}{b}$）．
（1）请直接写出该抛物线与y轴的交点坐标；
（2）若该抛物线与线段AB有公共点，请直接写出a的取值范围．

Answer 1

分析 探究：（1）当m=2时，得到y=x²-4x=（x-2）²-4；于是得到结论；
（2）解方程x²-2mx+m²-4=0，得到x₁=m+2，x₂=m-2，．于是得到结论；②解方程x²-2mx+m²-4=0，得到交点坐标为M（m-2，0），N（m+2，0）解不等式即可得到结论；
拓展：（1）根据抛物线的解析式即可得到结论；
（2）解方程a²（x-b）²-4=0，得到x₁=b-$\frac{2}{a}$=-$\frac{1}{a}$，x₂=$\frac{3}{a}$，当该抛物线与线段AB有公共点时，与x轴的交点分别介于A，B之间，于是得到结论．

解答 解：探究：（1）当m=2时，y=x²-4x=（x-2）²-4；
∴抛物线的顶点坐标为（2，-4）；
当y=0时，x²-4x=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴线段MN的长为4；
（2）①线段MN的长度不发生改变，
理由：当y=0时，x²-2mx+m²-4=0，
解得：x₁=m+2，x₂=m-2，．
∴线段MN的长为4，
∴线段MN的长度不发生改变；
②令y=x²-2mx+m²-4=0，
解得：x₁=m-2，x₂=m+2，
即交点坐标为M（m-2，0），N（m+2，0）
当该抛物线与线段AB有公共点时，M，N分别介于A，B之间，
即1≤m-2≤3，1≤m+2≤3，
即∵m的取值范围是：-1≤m≤1，3≤m≤5；
拓展：
（1）该抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），…（10分）
（2）令y=a²（x-b）²-4=0，
解得：x₁=b-$\frac{2}{a}$=-$\frac{1}{a}$，x₂=$\frac{3}{a}$，
当该抛物线与线段AB有公共点时，与x轴的交点分别介于A，B之间，
1≤-$\frac{1}{a}$≤3，1≤$\frac{3}{a}$≤3，
a的取值范围是：-1≤a≤-$\frac{1}{3}$，1≤a≤3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，正确的理解题意列出方程是解题的关键．