如图.在平面直角坐标系中.直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$与抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2+bx+c交于A.B两点.点A在x轴上.点B的横坐标为-8．(1)求该抛物线的解析式,(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点.过点P作x轴的垂线.垂足为C.交直线AB于点D.作PE⊥AB于点E．①设△PDE的周长为m.点P的横坐标为x.当△PDE周� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$与抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为m，点P的横坐标为x，当△PDE周长m最大时，求点P的坐标，并求出m的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG（逆时针方向作正方形APFG），随着点P的运动，正方形的大小，位置也随之改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

分析（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值；
（2）①先证明△PDE∽△AFO可得到PD：PE：DE=5：4：3．设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$），则点D的坐标为（x，$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$），列出PD与x的函数关系式，可求得PD的最大值和点P的坐标，然后依据m=PD+DE+PE可求得m的最大值；②当点F在y轴上时，过点A作AN∥y轴，PN∥x轴，PN交y轴与点M．先证明△PAN≌△FPM，则AN=PM即点P的横纵坐标相等，据此列出关于x的方程求解即可；当点G在y轴上时，过点P作PN⊥x轴，垂足为N．先证明△PAN≌△AOG，可得到PN=OA=2，故此可得到点P的纵坐标为2，将y=2代入抛物线的解析式求得对应的x的值即可．

解答解：（1）将y=0代入直线的解析式得：$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$=0，解得：x=2，
∴点A的坐标为（2，0）．
将x=-8代入直线的解析式得：y=-$\frac{15}{7}$．
∴点B的坐标为（-8，-$\frac{15}{7}$）．
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+2b+c=0}\\{-16-8b+c=-\frac{15}{7}}\end{array}\right.$，解得：c=2.5，b=-$\frac{3}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$．

（2）①如图1所示：

∵将x=0代入直线AB的解析式得：y=-$\frac{3}{2}$．
∴OF=$\frac{3}{2}$．
在Rt△OAF中，AF=$\frac{5}{3}$．
∵PD∥y轴，
∴∠PDE=∠OFA．
又∵∠PED=∠AOF，
∴△PDE∽△AFO．
∴PD：PE：DE=5：4：3．
设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$），
则点D的坐标为（x，$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$），PD=（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$）-（$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x+3）²+$\frac{25}{4}$，
∴当x=-3时，PD的长度有最大值，最大值为$\frac{25}{4}$，
∴点P的坐标为（-3，$\frac{5}{2}$）．
∵m=PD+DE+PE，
∴m=PD+$\frac{4}{5}$PD+$\frac{3}{5}$PD=$\frac{12}{5}$PD=$\frac{12}{5}$×$\frac{25}{4}$=15，即m的最大值为15．
②如图2所示：当点F在y轴上时，过点A作AN∥y轴，PN∥x轴，PN交y轴与点M．

∵∠NPA+∠FPM=90°，∠NPA+∠PAN=90°，
∴∠FPM=∠PAN．
在△PAN和△FPM中$\left\{\begin{array}{l}{∠FPM=∠PAN}\\{∠PNA=∠PMF}\\{PA=PF}\end{array}\right.$，
∴△PAN≌△FPM．
∴AN=PM．
设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$）．
∵AN=PM．
∴x=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$，解得：x=$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$或x=$\frac{-7-\sqrt{89}}{2}$（舍去）．
∴点P的坐标为（$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$）．
如图3所示：当点G在y轴上时，过点P作PN⊥x轴，垂足为N．

∵∠PAN+∠NPA=90°，∠PAN+∠NAG=90°，
∴∠NPA=∠OAG．
在△PAN和△AOG中$\left\{\begin{array}{l}{∠NPA=∠OAG}\\{∠PNA=∠AOG}\\{PA=GA}\end{array}\right.$，
∴△PAN≌△AOG．
∴PN=OA=2．
将y=2代入抛物线的解析式得：-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$=2，解得：x=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或x=$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$．
∴点P的坐标为（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，2）．
综上所述，点P的坐标为（$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{89}}{2}$）或（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，2）．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，根据题意画出图形并依据全等三角形的性质得到点P的纵坐标或求得点P的横纵坐标之间的关键是解题的关键．

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②若该抛物线与线段AB有公共点，请直接写出m的取值范围；
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（3）如图2，连结OQ，OB，当点P在线段OA上运动时，设三角形OBQ的面积为S，当x取何值时，S取得最小值，并求出最小值；

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5．

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A．

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B．

（2，$\frac{7}{2}$）

C．

（1，2）

D．

（2，2）

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15．威海市2017年初中体育学业考试将球类运动列为选考项目，每位考生需在篮球、足球、排球中任选一项参加考试，某学校对本校九年级所有考生选择的项目进行了统计，绘制成如下条形统计图和扇形统计图（不完整），请根据图中提供的信息解答下列问题：
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