Question

已知：矩形ABCD的面积为12，边AB与BC的长是关于x的方程x²-（m-5）x+m=0的两个根．
（1）分别求出边AB和BC的长度；
（2）以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AD于点E，求四边形ABCE的面积．

Answer 1

分析：（1）由于边AB与BC的长是关于x的方程x²-（m-5）x+m=0的两个根，利用根与系数的关系可以得到AB+BC=m-5，AB•BC=m，而矩形ABCD的面积为12，由此即可求出m，接着就可以求出边AB和BC的长度；
（2）由于AE∥BC，AE≠BC可以得到四边形ABCE是梯形．根据（1）有两种情况：当AB=3，BC=4；当AB=4，BC=3时．然后利用梯形的面积公式即可求解．

解答：解：（1）∵边AB与BC的长是关于x的方程x²-（m-5）x+m=0的两个根，
∴AB+BC=m-5，AB•BC=m，
又∵AB•BC=12，
∴m=12，
∴AB=3，BC=4，或AB=4，BC=3；

（2）∵AE∥BC，AE≠BC，
∴AB与CE不平行，即四边形ABCE是梯形．
当AB=3，BC=4时，S=

1

2

(3+4)×3=

21

2

，
当AB=4，BC=3时，S=

1

2

(3+4)×4=14，
综上所述，四边形ABCE的面积为

21

2

或14．

点评：此题主要考查了根与系数的关系、矩形的性质及梯形的面积的计算，解题的关键是利用根与系数的关系及矩形的面积公式求出m解决问题．