Question

【题目】如图，把正方形ABCD和Rt△ABE重叠在一起，其中AB=2，∠BAE=60°，若把Rt△ABE绕直角顶点B按顺时针方向旋转，使斜边AE恰好经过正方形的顶点C，得到Rt△A′BE′，AE与A′B、A′E分别相交于点F，G，那么△ABE与△A′BE′的重叠部分（即四边形BCGF部分）的面积为_____．

Answer 1

【答案】6﹣

【解析】

可证明△A’BC是等边三角形，并且可证明∠A’FG＝90°，故可求出△A’BC和△A’FG的面积，从而求出四边形BCGF的面积.

∵∠BAE＝∠BA’E’，AB＝A’B＝BC，∴△A’BC是等边三角形，∴∠A’BC＝60°，∴∠ABA’＝30°，∵∠BAE＝∠BA’E’＝60°，∴∠A’FG＝∠AFB＝90°，∠A’GF＝∠EGC＝30°，而∠E＝30°＝∠EGC，∴CG＝EC，在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝2,∠BAE＝60°，∴BE＝2,∴CG＝EC＝BE－BC＝2－2，∴A’G＝A’C－CG＝2－（2－2）＝4－2，在Rt△A’GF中，∠A’GF＝30°，∴A’F＝2－，FG＝2－3，故△A’FG的面积＝×A’F×FG＝，而根据等边三角形面积公式可求出△A’BC的面积＝，∴S四边形BCGF＝S△A’BC－S△A’FG＝－（）＝6－，故答案为＝6－.