Question

【题目】在平面内，给定∠AOB=60°，及OB边上一点C，如图所示．到射线OA，OB距离相等的所有点组成图形G，线段OC的垂直平分线交图形G于点D，连接CD．

（1）依题意补全图形；直接写出∠DCO的度数；

（2）过点D作OD的垂线，交OA于点E，OB于点F．求证：CF=DE．

Answer 1

【答案】（1）见解析，30°；（2）见解析

【解析】

（1）根据角平分的判定定理可知图形G为∠AOC的平分线，是一条射线，据此补全图形；再根据垂直平分线和角平分线的性质转化角即可求出∠DCO的度数.

（2）通过中间线段DF进行转化可证得结论，即可先证明CF=DF，再证明DE=DF即可.

解：（1）根据角平分的判定定理可知图形G为∠AOC的平分线，是一条射线.补全图形如图1所示：

∠1，∠2，∠3，∠4，如图2所示，

∵OD是∠AOB的平分线，∠AOB =60°，

∴∠1 =∠2=30°，

又∵点D在OC的垂直平分线上，

∴CD=OD，

∴∠3 =∠2=30°.

即∠DCO=30°.

（2） 证明：∵EF⊥OD，

∴∠EDO =∠FDO =90°，

∴∠DFO =60°，又∠3=30°，

∴∠4 =30°，∴∠4 =∠3，

∴CF=DF，

又易得△OED≌△OFD，

∴DE=DF，

∴CF=DE．