Question

【题目】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，

（1）求证：∠DHO=∠DCO．
（2）若OC=4，BD=6，求菱形ABCD的周长和面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，

∵DH⊥AB，

∴DH⊥CD，∠DHB=90°，

∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，

∴OH=OD=OB，

∴∠1=∠DHO，

∵DH⊥CD，

∴∠1+∠2=90°，

∵BD⊥AC，

∴∠2+∠DCO=90°，

∴∠1=∠DCO，

∴∠DHO=∠DCO

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OD=OB= BD=3，OA=OC=4，BD⊥AC，

在Rt△OCD中，CD= =5，

∴菱形ABCD的周长=4CD=20，

菱形ABCD的面积= ×6×8=24．

【解析】（1）先根据菱形的性质得OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB=90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH=OD=OB，利用等腰三角形的性质得∠1=∠DHO，然后利用等角的余角相等证明结论；（2）先根据菱形的性质得OD=OB= BD=3，OA=OC=4，BD⊥AC，再根据勾股定理计算出CD，然后利用菱形的性质和面积公式求菱形ABCD的周长和面积．
【考点精析】掌握菱形的性质是解答本题的根本，需要知道菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．