Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，
（1）求证：BD=AE．
（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，（自己画出图）BD与AE边相等吗？为什么？
（3）请问：在（2）中条件下，BD、CE与DE有何关系？（直接写出）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用△ABD≌△CEA，可求出BD=AE，
（2）第二问中若将MN绕点A旋转，与BC相交于点O，则BD，CE与MN垂直，AB=AC，两个三角形仍全等，
（3）第三问利用△ABD≌△CEA，可确定三条线段之间的关系．

解答：（1）证明：由题意可知，BD⊥MN与D，EC⊥MN与E，∠BAC=90°，
则△ABD与△CEA是直角三角形，∠DAB=∠ECA，
在△ABD与△CEA中，
∵

∠ADB=∠CEA ∠DAB=∠ECA AB=A

，
∴△ABD≌△CEA，
∴BD=AE；

（2）若将MN绕点A旋转，与BC相交于点O，
则BD，CE与MN垂直，
∴△ABD与△CEA仍是直角三角形，两个三角形仍全等，
∴BD与AE边仍相等；

（3）∵△ABD≌△CEA，
∴BD=AE，AD=EC，
∴DE=BD+EC或DE=CE-BD或DE=BD-CE．

点评：本题考查了直角三角形的边角关系，全等三角形的判定和性质等知识点，属中档题，做题时要从已知开始，结合相关知识认真思考．