Question

17．如图，在平面直角坐标系中，有一个7×7的正方形网格，每个小正方形的边长为1，如果某二次函数的图象过A，B两点，且该二次函数图象的顶点也在格点上，那么满足上述条件的二次函数表达式是y=$\frac{1}{3}$（x-2）²+2、y=（x-3）²+1、y=-（x-4）²+6、y=-$\frac{1}{3}$（x-5）²+5．

Answer 1

分析 设该抛物线的顶点式为y=a（x-h）²+k，由于顶点在格点上，即h、k为整数，分h=0、1、2、3、4、5、6、7这七种情况，将A、B两点的坐标代入解析式中即可求出k的值，依据k为整数取舍，从而求出二次函数的表达式．

解答 解：设抛物线解析式为y=a（x-h）²+k，
∵该二次函数图象的顶点也在格点上，
∴根据抛物线的对称轴，可分以下几种情况讨论：
①当h=0时，y=ax²+k，
将A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=2}\\{25a+k=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{7}}\\{k=\frac{10}{7}}\end{array}\right.$，舍去；
②当h=1时，y=a（x-1）²+k，
将A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+k=2}\\{16a+k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{k=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，舍去；
③当h=2时，y=a（x-2）²+k，
将A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{9a+k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{k=2}\end{array}\right.$，
∴此时抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-2）²+2；
④当h=3时，y=a（x-3）²+k，
将A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+k=2}\\{4a+k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=1}\end{array}\right.$，
∴此时抛物线解析式为y=（x-3）²+1；
⑤当h=4时，y=a（x-4）²+k，
将A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=2}\\{a+k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{k=6}\end{array}\right.$，
∴此时抛物线解析式为y=-（x-4）²+6；
⑥当h=5时，y=a（x-5）²+k，
得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+k=2}\\{k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{k=5}\end{array}\right.$，
∴此时抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x-5）²+5；
⑦当h=6时，y=a（x-6）²+k，
将A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+k=2}\\{a+k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{5}}\\{k=\frac{26}{5}}\end{array}\right.$，舍去；
⑧当h=7时，y=a（x-7）²+k，
将A（2，2）、B（5，5）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{25a+k=2}\\{4a+k=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{7}}\\{k=\frac{39}{7}}\end{array}\right.$，舍去；
综上，满足上述条件的二次函数表达式是y=$\frac{1}{3}$（x-2）²+2、y=（x-3）²+1、y=-（x-4）²+6、y=-$\frac{1}{3}$（x-5）²+5．

点评 本题主要考查待定系数法二次函数解析式，解题的关键在于设出抛物线的顶点式，依据顶点在格点上，即h、k为整数，分h=0、1、2、3、4、5、6、7这七种情况分别利用待定系数法求解．