Question

10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，BE平分∠ABC交CD于点E，作BF⊥AD，垂足F在线段AD上，连接EF．则下列结论一定成立的是（　　）
①∠FBC=90°；②点E是CD中点；③EF=EB；④S_△EBF=S_△EDF+S_△EBC．

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由垂直的定义得到∠AFB=90°，根据平行线的性质即可得到∠AFB=∠CBF=90°，故①正确；由平行线的性质得到∠CEB=∠ABE，由角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE，等量代换得到∠CEB=∠CBE，根据等腰三角形的判定得到CE=BE，等量代换得到CD=2CE，求得点E是CD中点；故②正确；延长FE交BC的延长线与M，根据全等三角形的性质得到EF=EM=$\frac{1}{2}$FM，根据直角三角形的性质得到BE=$\frac{1}{2}$FM，等量代换的EF=BE，故③正确；由于S_△BEF=S_△BME，S_△DFE=S_△CME，于是得到S_△EBF=S_△BME=S_△EDF+S_△EBC．故④正确．

解答 解：∵BF⊥AD，
∴∠AFB=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFB=∠CBF=90°，故①正确；
∵CD∥AB，
∴∠CEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC交CD于点E，
∴ABE=∠CBE，
∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=BE，
∵AB=2AD，
∴CD=2BC，
∴CD=2CE，
∴点E是CD中点；故②正确；
延长FE交BC的延长线与M，
∴∠DFE=∠M，
在△DFE与△CME中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠M}\\{∠DEF=∠CEM}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DFE≌△CME，
∴EF=EM=$\frac{1}{2}$FM，
∵∠FBM=90°，
∴BE=$\frac{1}{2}$FM，
∴EF=BE，故③正确；
∵EF=EM，
∴S_△BEF=S_△BME，
∵△DFE≌△CME，
∴S_△DFE=S_△CME，
∴S_△EBF=S_△BME=S_△EDF+S_△EBC．故④正确．
故选D．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△DEF≌△CME是解题关键．