Question

20．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＞90°，BC=2AB，F是BC的中点，自D作DE⊥AB交BA延长线于E．求证：∠CFE=3∠AEF．

Answer 1

分析 取AD的中点G，连接EG、FG，先证明∠1=∠AEG，再证明四边形ABFG是平行四边形，得出AB∥FG，证出∠1=∠4，∠2=∠3，即可得出结论．

解答 证明：取AD的中点G，连接EG、FG，如图所示：
则DG=CG，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴EG=$\frac{1}{2}$AD=AG，
∴∠1=∠AEG，
∵四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB，
∴BC=AD=2AB，BC∥AD，
∵F是BC的中点，
∴BF=AG，BF∥AG，
∴四边形ABFG是平行四边形，
∴∠BAG=∠BFG，AB∥FG，AB=FG，
∴∠1=∠4，∠2=∠AEF，EG=FG，
∴∠2=∠3，
∴∠4=∠AEF+∠3，
∴∠2+∠4=∠AEF+∠AEF+∠3=3∠AEF，
即∠CFE=3∠AEF．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质；通过作辅助线证明平行四边形．