Question

已知抛物线y=-x²+2mx-m²+1与x轴交点为A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．
（1）试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；
（2）当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，若△BOC是等腰三角形，求抛物线的解析式；
（3）已知一次函数y=kx+b，点P（n，0）是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交抛物线y=-x²+2mx-m²+1于点N，若只有当1＜n＜4时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）令y=0，则求得两根，又由点A在点B左侧，所以求得点A、B的坐标；
（2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由△BOC是等腰三角形，从而求得；
（3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．

解答：解：（1）∵点A、B是二次函数y=-x²+2mx-m²+1的图象与x轴的交点，
∴令y=0，-x²+2mx-m²+1=0
解得x₁=m+1，x₂=m-1
又∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为（m-1，0），B（m+1，0）；

（2）由（1）可知点B的坐标为B（m+1，0）；
∵二次函数的图象与y轴交于点C
∴点C的坐标为（0，-m²+1）
∵△BOC是等腰三角形，点B在原点的右侧，点C在原点的下方，
∴OB=m+1，OC=m²-1，
∴m+1=m²-1，
∴m=-1或2，
∵点B在原点的右侧，点C在原点的下方，
∴m=2，
∴解析式为：y=-x²+4x-3；

（3）由（2）得，二次函数解析式为y₁=-x²+4x-3，
∵1＜n＜4时，点M位于点N的下方，
∴当1＜n＜4时，y₁＞y₂，
即一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，
由此可得交点坐标为（1，0）和（4，-3）
将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中，
得

k+b=0 4k+b=-3

，
解得：

k=-1 b=1

，
∴一次函数解析式为y=-x+1．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，（1）令y=0则求得两根，由AB位置确定即求得；（2）二次函数的图象与y轴交于点C，再由等腰三角形的性质而求得．（3）由m值代入求得二次函数式，求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．本题比较模糊，按照一般计算，代入即求得．